TRIGONOMETRÍA

Antecedentes:
Rama de las Matemáticas cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos" y encarga de estudiar los Ángulos, los lados de cualquier triángulo y la relación que existe entre que existe ELLOS.
Objetivo:

El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.


VÉRTICE, ANGULOS (POSITIVO Y NEGATIVO)
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas (lados)con origen común (vértice). El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.

trigo3-2.jpg
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Ángulo Porción de plano comprendida Entre dos RECTAS Que se Cruzan

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Ver Video (Clasificacin de ngulos)


Sistemas de unidades para medir ángulos y Conversión

20070822klpingtcn_146_Ges_SCO.png La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º. El sistema de medición de los ángulos se llama sexagesimal y está formado por las siguientes medidas menores al grado.


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La notación que se usa para expresar grados, minutos y segundos es convencional. Por ejemplo, la medida del ángulo que debe girar una nave se puede escribir: 3º 32' 20" NE y se lee "3 grados, 32 minutos, 20 segundos en dirección Noreste".

Si bien en la escuela no usamos estas subunidades, los astrónomos y los agrimensores las usan en su trabajo y te viene bien saber de qué se trata.
Otro ejemplo interesante del uso del sistema sexagesimal de medición de ángulos es la localización geográfica de un lugar en la superficie de la Tierra. La ciudad de Montevideo, por ejemplo, está localizada a 34° 54' 29" de latitud Sur y 56º 12' 29" de longitud Oeste. En el caso de la latitud, el vértice de cada ángulo que se considera está ubicado en el centro de la Tierra; en cambio la longitud corresponde al ángulo que forman dos meridianos.
external image latylong.jpg
Sistema Sexagesimal
Este sistema de medir ángulos es el que has empleado durante tus primeros estudios; en él, la circunferencia se ha dividido en 360 partes iguales llamadas grados, el grado en 60 partes iguales llamadas minutos y el minuto en 60 partes iguales llamadas segundos.
Un grado sexagesimal es la medida del ángulo central de un círculo,de amplitud igual a la 360 ava parte del mismo. Sistema CentesimalEn este sistema la circunferencia se considera dividida en 400 grados, cada grado en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos. A estos grados se les llama grados centesimales. Las abreviaturas son: grados centesimal (g.c.); minuto centesimal (m.c.), y segundo centesimal (s.c.). Así,Un grado centesimal es la medida del ángulo central de un círculo,de amplitud igual a la 400 ava parte del mismo. Sistema Cíclico Este sistema se forma y define de la manera siguiente: en una circunferencia cualquiera se señala un arco de longitud igual al radio de la circunferencia y se trazan los radios correspondientes a cada extremo del arco; el àngulo central que forman estos dos radios se llama radián; el radián se divide decimalmente, es decir, en décimos, centésimos, milésimos, etc. Así,El radian es el ángulo central subtendido por un arco igual
a la longitud del radio del círculo


CONVERSIÓN

1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por
pi,!
pi,!
y se divide entre 180°


text {rad =}text{ grados }cdotfrac{pi}{180^circ}
text {rad =}text{ grados }cdotfrac{pi}{180^circ}

2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180° y se divide entre
pi,!
pi,!

text {grados =}text{ rad }cdotfrac{180^circ}{pi}
text {grados =}text{ rad }cdotfrac{180^circ}{pi}


Clasificación de Ángulos
Los Ángulos segun pueden clasificarse Su Medida en tres Tipos:
Agudos: Son aquellos Ángulos Qué Más Miden de 0 º Pero Menos de 90 º. Hijo caractersticos de los Triangulos acutángulos.
external image agudo.JPG
Rectos : Son aquellos Que Ángulos Miden 90 º. S en caractersticos de los Triangulos Rectangulos.
external image recto.JPG
Obtusos : Son aquellos Ángulos Qué Más Miden de 90 º Pero Menos de 180 º. Hijo caractersticos de los Triangulos obtusángulos.
external image obtuso.JPG
Complementario: Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados (un ángulo recto). Suplementario: Dos ángulos son suplementarios si suman 180 grados


Funciones Trigonométricas


Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo y son:

external image trigon.jpg
Seno: Razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
  • Sen = a / c

Coseno: Razón entre el cateto adyacente y la hipotenuza.
  • Cos = b / c

Tangente: Razón entre el cateto opuesto y cateto adyacente
  • Tan = a / b

Cosecante: Razón recíproca de seno
  • CSC 1/Sen = = c / a

Secante: Recta que corta a una circunferencia en 2 puntos
  • Sec = 1/Cos = c / b

Cotangente: Razón recíproca de la tangente
  • Cuna 1/tan = = b / a






IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Las Identidades trigonométricas Igualdades Que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades siempre son útiles cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluídas funciones trigonométricas, cualquiera que sean los valores que se asignen uno los Ángulos para los cuales estan definidas esras razones.Las Identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de formas diferentes. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores Comunes, etc Para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas Técnicas en Conjunto Las Identidades con trigonométricas.
external image 350px-Circle-trig6.svg.png

Identidades Básicas:

Coseno: Ángulo en un Triángulo Rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
external image mmmmmmmmm.png
Seno: Razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
external image seno222.png
Tangente: Es la relación entre el los catetos de rectángulo triángulo.
El valor es numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.

Identidades recíprocas:

Estas identidades Reciprocas se cumplen para cualquier ángulo para el cual el denominador no sea cero.

external image fotoooo.jpg

Relaciones pitagóricas 

Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos Podemos Calcular la Medida de la hipotenusa (Lado Opuesto al Ángulo recto) y si conocemos la Medida de la hipotenusa y la del cateto de Podemos Calcular la Medida del Otro cateto. 'Entonces' diremos Que El teorema de Pitágoras es un teorema Que es Propagador Unicamente un Rectangulos Triangulos, nos Sirve para obtener un Lado o la hipotenusa del Triángulo , si es Que se conocen los dos Otros. Las Identidades de Relaciones pitagóricas Las Siguientes:
external image pit%C3%A1goras.bmp

Identidades de Ángulos Complementarios Y Suplementarios


identidades.png

Identidades Para la Suma y Diferencia de Ángulos


ijsfdf.png

Identidades Para la Mitad de un Ángulo


a.png

Razones trigonométricas del ángulo doble
Ángulo doble
Ángulo doble

Ángulo doble

Ángulo doble
Ángulo doble

Ángulo doble

Ángulo doble
Ángulo doble

Ángulo doble


Teorema de las tangentes


teorema de las tangentes
teorema de las tangentes

teorema de las tangentes

Fórmula de Herón:

área
área

área


Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
external image division-trigo1.png

EJEMPLO :

external image uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recí­procas:
external image doce.jpg
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
external image tres.bmp
Su solución :
external image senocostan.jpg

==



Signos y valores de las funciones.
==
  • seno y cosecante:
1er cuadrante: +
2do cuadrante: +
Signo_Seno_Coseno_Tangente_en_Cuadrantes.jpg3er cuadrante: -
4to cuadrante: -


  • coseno y secante:
1er cuadrante: +2do cuadrante: -
3er cuadrante: -
4to cuadrante: +


  • tangente y cotangente:
1er cuadrante: +
2do cuadrante: -
3er cuadrante: +
4to cuadrante: -


Habrás observado que el signo de las razones trigonométricas depende del cuadrante donde se encuentra el punto




== ==

Triángulo Rectángulo

=**
cobertclinom.gif
cobertclinom.gif
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

  • La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
  • El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

**=


Teorema de pitágoras:


external image pitag33.bmp





IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
c (hipotenusa)
b(opuesto)
q
a (adyacente)
external image q_trigonometria_trigonometria_628524914.png
external image q_trigonometria_trigonometria_628524914.png

external image image008.gif


external image image010.gif
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5Grafiquémos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:
grafica.png
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas:
0
sen0
cos0
tan0
cot0
sec0
csc0

0
1
0
indefinido
1
indefinido
90°
1
0
indefinido
0
indefinido
1
180°
0
-1
0
indefinido
-1
indefinido
270°
-1
0
indefinido
0
indefinido
-1
360°
0
1
0
indefinido
1
indefinido
0º 30º 45º 60º 90
sen2 0/4 1/4 2/4 3/4 4/4
cos2 4/4 3/4 2/4 1/4 0/4

GRADOS
SEN 0
COS 0
TAN 0
0
0
1
0
30
1/2
½ RAIZ 3
RAIZ 3 /3
45
1/2
½ RAIZ 2
1
60
1/2
1/2
RAIZ 3
90
1
0
INDEFINIDO

==


==

Ángulo Cuadrantal

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal
external image image003.gif
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CIRCULO UNITARIO
Es círculo de radio 1con el centro en elorigen de unsistema de coordenadas rectangulares(cartesianas).
Circulo_Unitario.png
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Algunas de las funciones trigonométricas no están definidas para ciertos números reales. Así que necesitamos determinar sus dominios:
Dominio de las Funciones Trigonométricas
Función
Dominio
Sen, Cos
Todos los números reales
Tan, Sec
Todos los números reales diferentes de n/2 + nπ para cualquier entero n
Cot, Csc
Todos los números reales que no sean nπ para cualquier entero n
FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función es periódica si cumple la condición de periodicidad, es decir, si después de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado periodo, la función adquiere el mismo valor de partida.
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En aplicaciones ligadas a circuitos eléctricos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.
Una función periódica es la que se repite en la vida diaria podemos encontrar ejemplos uno de ellos es las fases de la luna en relación al tiempo.





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APLICACIONES DE LAS FUNCIONES PERIÓDICAS
Generalmente las funciones trigonometricas son funciones periódicas, El menor de tales valores positivos de t (si existe) se llama el período de f. Cada una de las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2 π y las otras dos funciones trigonométricas (tangente y cotangente) tienen período π
    • En la vida diaria existen muchos casos de funciones periódicas cuando la variable es el tiempo; situaciones como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. Un movimiento periódico es aquél en el que la posición(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones periódicas, todas con el mismo período.
    • Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.
    • Las funciones trigonométricas sirven como modelo pera expresar matemáticamente las características de las ondas sonoras.







BIBLIOGRAFÍA