GEOMETRíA ANALíTICA
La Geometría Analítica es la rama de la Geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Además de eso la Geometría Analítica se dedica al estudio de objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
La Geometría es una ciencia que surge desde tiempos inmemoriales por observación del hombre de las formas que lo rodeaban, estudia las formas y sus elementos.

Dos cuestiones fundamentales de la Geometría Analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica de los puntos que verifican dicha ecuación.

Representa las figuras geométricas mediante fórmulas de tipo:
  • f (xy) = 0
  • Donde f, es una función u otro tipo de expresión matemática
  • Las rectas se expresan como ecuaciónes polinómicas de grado 1 por ejemplo 2x + 6y = 0
  • Las circunferencias y el resto de las cónicas como ecuaciónes polinómicas de grado 2 (la circunferencia X2 + Y2 = 4, la hiperbola XY=1).
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Plano Cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas.
Se llama plano cartesiano porque fue inventado por el filósofo y matemático René Descartes.
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Pareciera que no sirve de nada, sin embargo, tiene grandes y útiles aplicaciones en la vida diaria. Se forma al dibujar dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, las cuales atraviesan una a la otra en sus respectivos ceros. La utilidad del plano cartesiano consiste en que se puede ubicar un punto sin confusiones con solo dos números. Dichos números se llaman <<par ordenado>> y el orden es (x,y). "X" es la recta horizontal y "Y" la recta vertical. El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes.


Para localizar puntos en el plano cartesiano sedebe llevar a cabo el siguiente procedimiento
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidadescorrespondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidadescorrespondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativasy de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.


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Nota Vídeo:
Si te han quedado dudas aqui una breve explicacion
EXPLICACIÓN DEL PLANO CARTESIANO
La Geometría Analítica tiene su aplicación práctica en:
  • Física aplicada
  • Mecánica
  • ArquitecturaCartografía
  • Astronomía
  • Náutica
  • Topografía
  • Balística

Nota Vídeo:

Si aún tienes dudas sobre Geometía... ¡checa este link!
¿Qué es
GEOMETRIA?

Otros Conceptos:

Ángulos adyacentes: Son dos ángulos en el mismo plano con un lado y un vértice en común, pero ningún punto interior en común
Ángulo central:Es un ángulo formado por dos rayas coplanares (líneas o puntos que se encuentran en el mismo plano) con respecto al círculo.
Vértice: es el centro del círculo.

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Puntos colineares
- Los puntos son colineares, solamente si yacen en la misma línea.

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Distancias entre dos puntos







Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Distancia001
Distancia001
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

Distancia003
Distancia003

=

Distancia002
Distancia002

=


Distancia004
Distancia004

d = 5 unidades

Punto Medio


Punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales.
El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento. Cumpliendo esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
Se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
Sean A = (x1, y1) y B = (x2, y2) dos puntos cualesquiera (que pueden ser los extremos de un segmento) el punto medio entre ambos se obtiene como Xm = (x1 + x2)/2 Ym = (y1 + y2)/2 Las coordenadas del punto medio, al que denominaremos por P, son: P = (Xm, Ym)
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Línea Recta
La recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). Se describe como la sucesión continua e indefinida, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde "x", "y" son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
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PARTES DE UN SEGMENTO DANDO UNA RAZÓN.
La parte de un segmento puede ser exactamentea a la mitad, en este caso se utiliza la fórmula de punto medio, existen segmentos que sus cortes no están a la mitad; en estos casos se da una razón proporcional de la capacidad de un segmento, es decir cuántas veces cabe este segmento en otro.
A(2, 5)
B(4, 2)
C(1, 1)
LADO 1 = (2 , 5)
LADO 2 = (4, 2)
LADO3 = (1, 1)
"(4 - 2)2 + (2 - 5)2
"(2)2 + (-3)2
" 13
= 3.6
AB = 3.6
BC = 3.1
CA = 4.1

AREA DE UN TRIANGULO.


Encontrar el arrea de un trianguloo cuyos vértices son:
A(-2, 3) Y
B(-4, -1) A(-2,3)
C(3, -2)
B(-4, -1) X
C(3, -2)
Sustituyendo en:
A = ½ (X1 Y2 + X2Y3 + X3Y1 - X1 Y3 - X2Y1 -X3Y2)
A = ½ [(-2)(-1) + (-4)(-2) + (3)(3) -(-2)(-2) - (-4)(3) - (3)(-1)]
A = ½ (2 + 8 + 9 - 4 + 12 + 3) = ½ (30) A =15U2
Usando determinantes se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos:
X1 y1 1
A = ½ X2 y2 1
X3 y3 1
-2 3 1
-4 -1 1
½ 3 -2 1
-2 3 1
-4 -1 1
= ½ [(2 + 8 + 9) - (12 + 4 - 3)]
A = ½ [19 - (-11)] = ½ (19 + 11) = ½ = 15U2
RECTAS Y ANGULOS
Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano reciben el nombre de rectas paralelas . Si se cortan, serán rectas secantes.


Cuando las rectas se cortan, forman 4 regiones llamadas ángulos. Cada ángulo está limitado por dos lados y un vérice. Si las rectas se cortan formando cuatro ángulos iguales, se dice que son rectas perpendiculares.

LUGAR GEOMETRICO
Conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo. En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos. Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a otra,...También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares geométricos. Así una elipse es el lugar geométrico de la suma de las distancias de un punto a dos dados (los focos) que es constante.
dibujo
dibujo

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:
1 Sus vectores directores
ángulo
ángulo

2 Sus pendientes
ángulo
ángulo




  • PENDIENTE DE UNA RECTA
En sentido común el declive de cualquier cosa en su inclinación o pendiente, cuanto es lo que lo que lo sube o baja con respecto a una línea horizontal de referencia. Por definición la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.
En una recta representada graficamente, la pendiente nos ayuda a saber el grado de inclinacion que esta tiene.
PendientePendiente dado el ángulo
pendiente
pendiente

Pendiente dado el vector director de la recta
pendiente
pendiente

Pendiente dados dos puntos
pendiente
pendiente

PENDIENTE POSITIVA
Cuando la recta es creciente (al aumentar los valores de X aumentan los de Y) su pendiente es positiva en la expresion analitica m>0
recta[1].gif
PENDIENTE NEGATIVA
Cuando la recta es decreciente (al aumentar los valores en X disminuyen en Y) la pendiente es negativa en la expresion analitica m>0
recta2[1].gif
PENDIENTE NULA
Cuando la recta es constante, se dice que la pendiente es nula, en la expresion anlitica m>0
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ECUACIONES DE LA RECTA


La ecuación GENERAL de una línea recta tiene la forma:
y = mx + b
¿Qué significa?
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=====
Ecuación de una línea recta
Ecuación de una línea recta

Ecuación de una línea recta

Gradiente
Intersección

y = cuánto arriba
x = cuán lejos
m = gradiente o pendiente (cuán inclinada es la línea)
b = la intersección Y (donde la línea se cruza con el eje Y)
A) ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA PUNTO-PENDIENTE:
En una recta, la pendiente
m,
m,
es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:
m = left( frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} right)
m = left( frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} right)
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):
y - y_1 = m (x - x_1)!
y - y_1 = m (x - x_1)!
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X
La ecuación de la recta que pasa por el punto
P_1 = (x_1, y_1) ,
P_1 = (x_1, y_1) ,
y tiene la pendiente dada

m
es:
y - y_1 = m (x - x_1),
y - y_1 = m (x - x_1),

Ejemplo
La ecuación de la recta que pasa por el punto A
(2, − 4)
y que tiene una pendiente de − 1 / 3.
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
y - y_1 = m (x - x_1)!
y - y_1 = m (x - x_1)!
y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)!
y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)!
3 (y + 4) = - 1(x - 2)!
3 (y + 4) = - 1(x - 2)!
3y + 12 = - x + 2!
3y + 12 = - x + 2!
x + 3y + 12 = 2!
x + 3y + 12 = 2!
x + 3y + 10 = 0!
x + 3y + 10 = 0!


B) Ecuación de la recta en la forma ordenada en el origen
Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación external image tetha.gif con el eje x
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Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coord
Coordenadas P’’(x, Y), Y external image Image109.gif y. Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces external image Image110.gif, de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y) external image Image111.gifl, y = mx + b = (tan external image Image112.gif)x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.


B)Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)
Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de Heidelberg y en la Universidad Técnica de Múnich.)
Esta es la forma normal de la recta:
x cosomega + y senomega - d = 0 !
x cosomega + y senomega - d = 0 !
Siendo
d

el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega
ω

es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.
Donde
k

que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.
Ax + By + C = 0 !
Ax + By + C = 0 !
Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de
A
y
B
. Como sigue:
k = sqrt{A^2 + B^2}
k = sqrt{A^2 + B^2}
Con el número
k
podemos obtener a
cosω
y a
senω
de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a
A y B

entre k
y para calcular d
dividimos a C entre k
Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k

en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.
D)Ecuación Normal de la recta (Segunda forma)
 frac{Ax+By+C}sqrt{A^2 + B^2} = 0
frac{Ax+By+C}sqrt{A^2 + B^2} = 0
Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.
Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta,
y − y1 = m(x − x1):
y - b = m (x - 0)\!y - b = m x \!y = m x + b \!

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.
Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
El vérticees el punto central donde se cortan las generatrices.
Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Lugares Geométricos

Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:
  • Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
  • Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico. Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.
MediatrizRecta perpendicular al punto medio de un segmento. Mediatrices de un triángulo son las m. de cada uno de sus lados. Las tres m. concurren en un punto llamado circuncentro del triángulo. También se puede definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. external image 20070926klpmatgeo_100.Ges.SCO.png
Mediatriz
En un triángulo ABC, las mediatrices de los tres lados se cortan en un único punto, (O en la figura) que es centro del círculo circunscrito al triángulo.


Archivo:Mediatrices de un triángulo.png
Archivo:Mediatrices de un triángulo.png

Prueba:
- Dos lados nuncason paralelos, por consiguiente tampoco lo son las mediatrices, que hacen ángulos rectos con ellos.
- Sea O el punto de intersección de la mediatriz de [AB] con la de [BC]. Luego OA = OB, pero también OB = OC. Estas dos igualdades implican que OA = OC, es decir que O también pertenece a la tercera mediatriz. Por lo tanto las tres son concurrentes.
- El punto O, al ser equidistante de los tres vértices (OA = OB = OC) es centro de un círculo que pasa por ellos tres.

Bisectriz

De un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir la bisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo.Las bicectrices de un triangulo son las rectas que dividen a cada angulo de los angulos del triangulo en dos angulos iguales.

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Bisectriz
bisectrices interior y exterior
bisectrices interior y exterior



La bisectriz de un ángulo o un sector angular es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales.
Propiedad: los puntos de la bisectriz son equidistantes de los dos lados (rectas) del ángulo.
Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, forman cuatro ángulos, opuestos dos por dos. Estos definen dos bisectrices. Los puntos equidistantes de las dos rectas son exactamente los puntos de las dos mediatrices. Este resultado se establece fácilmente al recordar que una bisectriz es un eje de simetría de su ángulo, y que las simetrías conservan las distancias.



bisectrices del triángulo
bisectrices del triángulo


En un triángulo, los tres ángulos definen tres bisectrices (interiores).
Teorema: Las tres bisectrices del triángulo se cortan en un único punto, que es centro del círculo inscrito al triángulo.
Prueba: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, O es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', es equidistante de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres catetos, existe un círculo tangente a ellos y de centro O. (su radio es justamente la distancia común entre O y los catetos).

3º Circunferencia
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.. La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es radio R.
Ecuación de la circunferencia:
Si C(a,b) es el centro de la circunferencia y P(x,y), un punto cualquiera de la misma, la definición nos dice:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Esta es la ecuación de la circunferencia, o sea la condicion que deben cumplir las coordenadas (x,y) de cualquier punto que este en la circunferencia de centro (a,b) y radio r.
Desarrollando la ecuación anterior podemos escribir de otra manera la ecuación de la circunferencia.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ecuación reducida, es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas. En el caso de la circunferencia la ecuación reducida es : x2 + y2 = R2

4º Circunferencia que pasa por 3 puntos
Si consideramos dos puntos A y B resulta que hay infinitas circunferencias que pasan por ellos, basta considerar la mediatriz del segmento que los une y observar que las circunferencias con centro en esa mediatriz y que pasen por uno de los puntos también pasarán por el otro.
Cuando disponemos de tres puntos P, Q y R que no estén alineados, la mediatriz de PQ y la Mediatriz de QR se cortarán en un punto, ese punto es el centro de la circunferencia que pasa por P, Q y R puesto que los tres equidistan de él. Dicho con otras palabras, consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados de ese triángulo. En el caso de que los tres puntos dados estén alineados el problema carece de solución

5º Posición relativa de una recta y una circunferenciaUna recta r: ax + by + c = 0 puede ser secante, tangente o exterior a una circunferencia c: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 según las soluciones del sistema:
Lugares geométricos
Lugares geométricos


- Si el sistema tiene dos soluciones, la recta será secante y estas soluciones serán los puntos de corte.
- Si el sistema tiene una solución, la recta será tangente, siendo la solución el punto de tangencia
- Si el sistema no tiene solución, la recta será exterior.

6º Posición relativa de 2 circunferencias
Dos circunferencias pueden presentar las siguientes posiciones relativas:
-Exteriores: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.
-Secantes: si tienen dos puntos en común, siendo la distancia entre sus centros menor que la suma de sus radios.
-Tangentes exteriores: tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
-Tangentes interiores: son circunferencias que tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
-Interiores: son circunferencias que no tienen puntos comunes y la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
-Concéntricas: son circunferencias interiores que tienen el mismo centro.

7º Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario.Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.
La ecuación de un elipse es x2/a2 + y2/b2 = 0
Lugares geométricos
Lugares geométricos
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :


Elipse
Definiciones
Existen tres maneras (por lo menos) de definir las elipses:
1) Una elipse esuna sección cónica, es decir la intersección de un cono con un plano (con una condición sobre su inclinación)
2) Sean F y F' dos puntos del plano, y d una longitud superior a FF'. La elipsede focos F y F', de parámetro d es el lugar geométrico de los puntos M del plano tales que FM + F'M = d.


Semiejes de la elipse
Semiejes de la elipse



3) En un sistema de coordenadas ortonormales, una elipse es el conjunto de puntos definidos por la ecuación:
sqrt{(x-c)^2 + y^2} + sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a
sqrt{(x-c)^2 + y^2} + sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a
Donde a > 0 y b > 0 son las semidistancias de los ejes de la elipse (a correponde al eje de las abscisas, b al de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF'].
Equivalencias
Cuando se define un mismo objeto de varias maneras distintas, es deseable demostrar que las distintas definiciones son equivalentes, o por lo menos dar indicios sobre como pasar de una a otra.
Después de ver como están vinculados los parámetros a, b, d y FF', se demostrará que las definiciones geométricas equivalen ambas a la definición algebraica, que es la más práctica para hacer cálculos.
A partir de los focos F y F', escojamos un sistema de coordenadas ortonormales así: el origen O es la mitand de [FF´], con F' del lado positivo. Sea c lasemidistanciafocal. Entonces F(-c, 0) y F'(c,0).
  • Cuando el punto M está sobre el eje de las abscisas, por ejemplo en M1, entonces d = FM1 + F'M1 = (FO + OM1 ) + (OM1 - OF') = 2·OM1 = 2a, por definición de a. Entonces d/2 = a.
  • Cuando M está sobre el eje de las ordenadas, por ejemplo en M0, se puede aplicar el teorema de Pitágoras en los triángulos OFM0 y OF'M0, lo que da, con d = FM0 + F'M0 = 2FM0 , (d/2)2 = OM22 + OF2 = b2+ c2.


Propiedades

  • Ecuación paramétrica: La elipse anterior tiene como ecuaciones paramétricas
y = b cdot mbox{sen} theta
y = b cdot mbox{sen} theta
con θ describiendo el intervalo [0;2π]
  • La tangente a la elipseen el punto M (x0, y0 ) admite como ecuación:


frac{xcdot(x - x_0)}{a^2} + frac{ycdot(y - y_0)}{b^2} = 0
frac{xcdot(x - x_0)}{a^2} + frac{ycdot(y - y_0)}{b^2} = 0

que se escribe también:
frac{x cdot x_0}{a^2} + frac{y cdot y_0}{b^2} = 1
frac{x cdot x_0}{a^2} + frac{y cdot y_0}{b^2} = 1
(que se obtiene con el método de desdoblamiento de las variables)
  • El área interior a la elipse es π·a·b.
  • En mecánica, un cuerpo sometido a la atracción de otro (tomado como punto de referencia, es decir considerado fijo) y que gira a su alrededor, describe una órbita elíptica (ver Leyes de Kepler). Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor (El otro foco no contiene cuerpo alguno). La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales es decir de la historia del cuerpo.


8º HipérbolaEs el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.El punto donde se cortan ambos ejes se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde lahipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola.
Ecuación de la hipérbola :x2 / a2 - y2 / b2 = 1
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
relación
relación



dibujo
dibujo





Elementos de la hipérbola

Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario
Es la mediatriz del segmento .
segmento
segmento
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices
Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento
segmento
segmento
de longitud 2c.
Eje mayor
Es el segmento
segmento
segmento
de longitud 2a.
Eje menor
Es el segmento
segmento
segmento
de longitud 2b.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas
Son las rectas de ecuaciones:
rectas
rectas
Relación entre los semiejes
igualdad
igualdad
9º Excentricidad de una cónica
La excentricidad de una cónica, representado por e, es el cociente entre la distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad es e = c/a
El valor de la excentricidad determina el tipo de cónica:Si e < 1 es una elipse (circunferencia e = 0).Si e = 1 es una parábola.Si e > 1 es una hipérbola.
10º Posición relativa de 1 recta y 1 cónica
Las posiciones relativas entre una recta y una cónica pueden ser las mismas que dadas para una circunferencia. Para saber donde en que sitio nos situamos, resolveremos el sistema formado por la ecuación de la cónica y la ecuación de la recta dadas.Las posiciones relativas posibles de una recta respecto a una cónica son tres:
Secantes, tiene dos soluciones.Tangentes, tiene una solución.Exteriores, carece de solución.Una figura es el lugar geométrico de los puntos que cumplen una propiedad cuando:w Todos los puntos de la figura cumplen esa propiedadw Todo punto que cumple la propiedad pertenece a la figura.
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BIBLIOGRAFIA: